6 Plotten von Funktionen und Daten

In meinem Skript habe ich die Möglichkeit realisiert Funktionen und Daten zu zeichnen. Dabei werden im Hintergrund einige Berechnungen angestellt, die einem das Leben vereinfachen.

6.1 Funktionen zeichnen

Um Funktionen zu zeichnen habe ich den Befehl graph geschrieben. Die Syntax ist die folgende:
graph
[layer=< >]
[farbe=<Linienfarbe>]
[linie=<Linienstärke in pt ( )>,<Linienart>]
[parameter="<Pstricksbefehle>"]
x=< >,< > [y=< >,< >]
<Funktionsterm >

Hierbei wird der Funktionsterm mit der Variablen in der algebraischen Notation erwartet. Sind ymin und ymax nicht gesetzt, so wird die Funktion in den Grenzen xmin und xmax gezeichnet. Ist dies angegeben, so ist die Funktion auf diesen Bereich beschränkt.

Abb. 81: Der Befehl graph

graph-ptxt.ptxt
1 achsen 2 graph layer=50 farbe=black linie=1,solid parameter="" x=-3,3 y=-2,3 x^3+1

Da der Funktionsterm in die umgekehrt-polnische-Notation (UPN) übersetzt wird, ist es sinnvoll den Term vollständig zu klammern. Ansonsten kann man auch als PArameter algebraic angeben, dann erfolgt diese Übersetzung nicht.

6.2 Markierungen an Graphen

Möchte man eine Markierung an einer Funktion oder eine generelle Markierung von einem Wertepaar zeichnen, so steht einem der Befehl graphmarkierung zur Verfügung.
graphmarkierung
[layer=< >]
[farbe=<Linienfarbe>]
[linie=<Linienstärke in pt ( )>,<Linienart>,"<x|y|xy>"]
[parameter="<Pstricksbefehle>"]
x=< >
[y=< >]
[text=<"Text an der -Achse">,<"Text an der -Achse">]
[<Funktionsterm >] wenn y nicht definiert

Standardmäßig wird der Befehl xy bei der linie genutzt.

Abb. 82: Der Befehl graphmarkierung

graphmarkierung-ptxt.ptxt
1 achsen 2 graph layer=50 farbe=black linie=1,solid parameter="" x=-4,4 y=-2,2 1.5sin(x) 3 graphmarkierung farbe=red linie=1,solid,x x=1.5 text="$x_1$","$y_1$" 1.5sin(x) 4 graphmarkierung farbe=blue linie=2,dashed,y x=-2.3 text="$x_2$","$y_2$" 1.5*sin(x) 5 graphmarkierung x=3 y=-1.5 text="$x_3$","$y_3$"

6.3 Ableitungen zeichnen

Um Ableitungen zu zeichnen gibt es den Befehl ableitung, der fast analog zum Befehl graph ist. Die Syntax lautet:
ableitung
[layer=< >]
[farbe=<Linienfarbe>]
[linie=<Linienstärke in pt ( )>,<Linienart>]
[parameter="<Pstricksbefehle>"]
x=< >,< > [y=< >,< >]
<Funktionsterm >[,<Grad der Ableitung >]

Hierbei kann der Grad der Ableitung angegeben werden. Standardmäßig ist der Grad auf 1 gesetzt. Zu beachten ist, dass wenn größer 1 gewählt wird, kann die Funktion über die -Achse hinaus gezeichnet werden.

Abb. 83: Der Befehl ableitung

ableitung-ptxt.ptxt
1 achsen 2 graph layer=50 farbe=black linie=1,solid parameter="" x=-4,4 y=-2,3 x^4+1 3 ableitung layer=50 farbe=red linie=1,solid parameter="" x=-4,4 y=-2,3 x^4+1

6.4 Tangenten und Tangentendreiecke

6.4.1 Zeichnen einer Tangente

Die Steigung einer Funktion in einem Punkt wird häufig durch das Zeichnen eines kurzen Tangentenstückes verdeutlicht. Dies kann durch die Ableitung der Funktion oder durch die Berechnung einer genügend kleinen Sekante geschehen. Die Gleichung einer Tangente an der Stelle für die Funktion ist definiert durch

Eine Tangente kann kann nun mit dem Befehl tangente gezeichnet werden. Die Syntax ist dabei die folgende:
tangente
[layer=< >]
[farbe=<Linienfarbe>]
[linie=<Linienstärke in pt ( )>,<Linienart>]
[parameter="<Pstricksbefehle>"]
x=< >
dx=< >
<Funktionsterm >

Dabei ist die Stelle, für die die Tangente berechnet werden soll und die Länge der einzuzeichnenden Tangente.

Abb. 84: Der Befehl tangente

tangente-ptxt.ptxt
1 achsen 2 gitter 3 graph linie=1,solid x=-4,4 y=-2,2 sin(x) 4 tangente farbe=red linie=1,solid x=-1 dx=1 sin(x) 5 tangente farbe=blue linie=1,solid x=1.5 dx=2 sin(x) 6

6.4.2 Zeichnen eines Tangentendreiecks

Analog zur Tangente gibt es denn Befehl des Tangentendreiecks, der anstelle der Tangente ein vollständiges Steigungsdreieck einzeichnet.
tangentendreieck
[layer=< >]
[farbe=<Linienfarbe>]
[linie=<Linienstärke in pt ( )>,<Linienart>]
[parameter="<Pstricksbefehle>"]
x=< >
dx=< >
<Funktionsterm >

Abb. 85: Der Befehl tangentendreieck

tangentendreieck-ptxt.ptxt
1 achsen 2 gitter 3 graph linie=1,solid x=-4,4 y=-2,2 sin(x) 4 tangentendreieck farbe=red linie=1,solid x=-1 dx=1 sin(x) 5 tangentendreieck farbe=blue linie=1,solid x=1.5 dx=2 sin(x)

6.5 Sekanten und Sekantendreiecke

6.5.1 Zeichnen von Sekanten

Eine Gerade die durch zwei verschiedene Punkte einer Funktion geht, nennt man Sekante. Die Steigung der Sekante durch zwei verschiedene Punkte und des Graphen ist gegeben durch

Für mein Skript ist die Syntax der sekante die Folgende:
sekante
[layer=< >]
[farbe=<Linienfarbe>]
[linie=<Linienstärke in pt ( )>,<Linienart>]
[parameter="<Pstricksbefehle>"]
x=< >
dx=< >
<Funktionsterm >

Dabei ergibt sich durch .

Abb. 86: Der Befehl sekante

sekante-ptxt.ptxt
1 achsen 2 gitter 3 graph linie=1,solid x=-4,4 y=-2,2 sin(x) 4 sekante farbe=red linie=1,solid x=-1 dx=1 sin(x) 5 sekante farbe=blue linie=1,solid x=1.5 dx=2 sin(x) 6

6.5.2 Zeichnen eines Sekantendreiecks

Analog zur Sekante gibt es denn Befehl des Sekantendreiecks, der anstelle der Sekante ein vollständiges Steigungsdreieck zeichnet.
sekantendreieck
[layer=< >]
[farbe=<Linienfarbe>]
[linie=<Linienstärke in pt ( )>,<Linienart>]
[parameter="<Pstricksbefehle>"]
x=< >
dx=< >
<Funktionsterm >

Abb. 87: Der Befehl sekantendreieck

sekantendreieck-ptxt.ptxt
1 achsen 2 gitter 3 graph linie=1,solid x=-4,4 y=-2,2 sin(x) 4 sekantendreieck farbe=red linie=1,solid x=-1 dx=1 sin(x) 5 sekantendreieck farbe=blue linie=1,solid x=1.5 dx=2 sin(x)

6.6 Stammfunktionen und Integrale

6.6.1 Stammfunktionen

Um Stammfunktionen zu zeichnen gibt es den Befehl stammfunktion, der fast analog zum Befehl graph ist. Die Syntax lautet:
stammfunktion
[layer=< >]
[farbe=<Linienfarbe>]
[linie=<Linienstärke in pt ( )>,<Linienart>]
[parameter="<Pstricksbefehle>"]
x=< >,< >
[y=< >,< >]
[nullwert=< >]
<Funktionsterm >

Dabei stellt nullwert die additive Konstante der Stammfunktion dar.

Abb. 88: Der Befehl stammfunktion

stammfunktion-ptxt.ptxt
1 achsen 2 graph linie=1,solid x=-4,4 y=-2,3 x^4+1 3 stammfunktion farbe=red linie=1,solid x=-4,4 y=-2,3 x^4+1

6.6.2 Flächen unter einer Funktion

Hinführend auf das Integral ergibt sich natürlich auch die Obersumme und Untersumme einer Funktion. Dabei betrachtet man die (beschränkte) Funktion , wobei und gilt. Wird nun das Intervall in Teile zerlegt mit , so ist die Ober- bzw. Untersumme definiert als

Dies ist nun mit dem Befehl oberuntersumme realisiert. Die Syntax sieht dabei wie folgt aus:
oberuntersumme
[layer=< >]
[farbe=<Linienfarbe>,<Füllart>,<Füllfarbe>]
[linie=<Linienstärke in pt ( )>,<Linienart>]
[parameter="<Pstricksbefehle>"]
x=< >,< >
[y=< >,< >]
n=<Einteilung >
summen=<ober|unter|beide>
<Funktionsterm >

Dabei steht ober dafür, dass die Obersumme gezeichnet wird, unter zeichnet die Untersumme und beide zeichnet beide Treppenfunktionen. Ist nicht gesetzt, so wird die Treppenfunktion zwischen und direkt gezeichnet. Ansonsten werden diese Werte aufgrund der -Werte angepasst.

Abb. 89: Die Obersumme von

oberuntersumme-ptxt.ptxt
1 achsen 2 graph layer=61 farbe=black linie=1,solid x=-4,4 y=0,4 (0.5x)^2 3 oberuntersumme farbe=red,solid,red!20 linie=1,solid x=-4,4 y=0,4 n=6 summen=ober (0.5x)^2

Abb. 90: Die Untersumme von

oberuntersumme-2-ptxt.ptxt
1 achsen 2 graph layer=61 farbe=black linie=1,solid x=-4,4 y=0,3 (0.5x)^2 3 oberuntersumme farbe=red,solid,red!20 linie=1,solid x=-4,4 y=0,3 n=6 summen=unter (0.5x)^2

Möchte man anstelle der Stammfunktion oder Obersumme bzw. Untersumme das zugehörige Integral einer Funktion zeichnen, so gibt es den Befehl integral. Dieser zeichnet die eingeschlossene Fläche zwischen der Funktion und der

-Achse in dem angegebenen Intervall. Die Syntax ist:
integral
[layer=<

>]
[farbe=<Linienfarbe>,<Füllart>,<Füllfarbe>]
[linie=<Linienstärke in pt (

)>,<Linienart>]
[parameter="<Pstricksbefehle>"]
x=<

>,<

>
[y=<

>,<

>]
<Funktionsterm

>

Ist y nicht angegeben, so werden die Grenzen automatisch berechnet.

Abb. 91: Der Befehl integral

integral-ptxt.ptxt
1 achsen 2 integral layer=5 farbe=red!20,solid,red!20 linie=1,solid x=-3,3 y=-1.5,1.5 cos(2*x)

6.6.3 Einschlußzwischen zwei Funktionen

Beschäftigt man sich mit dem Integral, so soll natürlich auch die Fläche zwischen zwei Funktionen gezeichnet werden können. Dies ist mit dem Befehl einschluss möglich. Die Syntax ist die folgende:
einschluss
[layer=< >]
[farbe=<Linienfarbe>,<Füllart>,<Füllfarbe>]
[linie=<Linienstärke in pt ( )>,<Linienart>]
[parameter="<Pstricksbefehle>"]
x=< >,< >
[y=< >,< >]
schnitt=<links|rechts|beide|keine>
<Funktionsterm >,<Funktionsterm >

Ist der schnitt auf beide gesetzt, so werden automatisch die zwei Schnittpunkte einer Funktion berechnet. Analog wird bei links der linke Schnittpunkt berechnet und der rechte Zeichenbereich ist der Wert.

Abb. 92: Der Befehl einschluss

einschluss-ptxt.ptxt
1 achsen 2 einschluss layer=50 farbe=black,solid,red!20 linie=1,solid parameter="plotstyle=curve" x=-3,3 y=0,4 schnitt=beide (0.75x)^4,(x)^2 3 graph x=-3,3 y=0,4 (0.75x)^4 4 graph x=-3,3 y=0,4 (x)^2

6.7 Rotationskörper um die -Achse

Um einen Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche, die durch den Graphen der Funktion im Intervall , die -Achse und die beiden Geraden und begrenzt wird, um die -Achse zu zeichnen, gibt es den Befehl graphrot
graphrot
[layer=< >]
[farbe=<Linienfarbe>,<Füllart>,<Füllfarbe>]
[linie=<Linienstärke in pt ( )>,<Linienart>]
[parameter="<Pstricksbefehle>"]
x=< >,< > [y=< >,< >]
r=<Einteilung >
<Funktionsterm >

Abb. 93: Der Befehl graphrot

graphrot-ptxt.ptxt
1 groesse x=6 y=3 2 gitter 3 koordinatensystem x=0,6 y=-3,3 einteilung=1,1 skala=normal text="$x$","$y$" 4 graphrot farbe=black,shape,red!20 x=1,5 y=-3,3 r=4 2.5/(x^0.5) 5

Abb. 94: Der Befehl graphrot mit feineren Einteilung

graphrot-2-ptxt.ptxt
1 groesse x=6 y=3 2 gitter 3 koordinatensystem x=0,6 y=-3,3 einteilung=1,1 skala=normal text="$x$","$y$" 4 graphrot farbe=black,shape,red!20 x=1,5 y=-3,3 r=20 2.5/(x^0.5) 5

6.8 Parametrisierte Kurven

Unter einer Parameterdarstellung (auch Parametrisierung oder Parametrierung) einer Kurve versteht man eine Darstellung, bei der die Punkte der Kurve über einen einzigen Parameter abgelaufen werden können. Ein Beispiel hierfür ist die Darstellung einer Schleife in der Form

Die Syntax des Befehls ist die folgende:
parametricplot
[layer=< >]
[farbe=<Linienfarbe>]
[linie=<Linienstärke in pt ( )>,<Linienart>]
[parameter="<Pstricksbefehle>"]
t=< >,< >
<Funktionsterm >,<Funktionsterm >

Wobei das jeweilige Definitionsintervall beschreibt.

Abb. 95: Der Befehl parametricplot

parametricplot-ptxt.ptxt
1 koordinatensystem x=-2,2 y=-1,1 einteilung=1,1 linie=2,solid,black skala=normal text="$x$","$y$" 2 parametricplot layer=50 farbe=black linie=1,solid t=0,360 sin(t),sin(t)*cos(t)

6.9 Zeichnen von Funktionsfolgen

Eine Funktionenfolge ist eine Folge , von Funktionen . Diese kann mit dem Befehl folge gezeichnet werden.
folge
[layer=< >]
[farbe=<Linienfarbe>]
[linie=<Linienstärke in pt ( )>,<Linienart>]
[parameter="<Pstricksbefehle>"]
x=< >,< >
[r=< >,< >]
<Funktionsterm >

gibt die Abstände der Punktfolgen an. Standardmäßig ist dies aus 1 gesetzt. definiert den Radius der Punkte und ist standardmäßig auf gesetzt.

Abb. 96: Der Befehl folge

folge-ptxt.ptxt
1 achsen 2 folge layer=50 farbe=black linie=1,solid parameter="" x=-2,2 r=1,5 x^2

6.10 Plotten von Daten

Um Daten zu visualisieren gibt es in meinem Skript mehrere Befehle. Um dies zu veranschaulichen nutze ich im folgenden die Tabelle 6.10.

in s	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	15	20
in mA	130	100	80	70	55	45	40	30	25	20	7	3

Tab. 1: Entladestrom eines Kondensators

Es gibt die drei Befehle listplot, fileplot und dataplot. Diese realisieren die gleichnamigen Funktionen aus Pstricks¹. Die Syntax ist dabei bei allen Funktionen die folgende:
[<fileplot|listplot|dataplot>]
[layer=< >]
[farbe=<Linienfarbe>]
[linie=<Linienstärke in pt ( )>,<Linienart>]
[parameter="<Pstricksbefehle>"]
[lese <Dateiname>] oder < >,< > beliebig oft
ende

Es gibt mit dem Befehl lese die Möglichkeit eine Komma oder Semikol getrennte Datei einzulesen, oder direkt entsprechende Werte einzulesen.

Abb. 97: Der Befehl listplot

listplot-ptxt.ptxt
1 groesse x=6 y=3 2 achsen 3 listplot farbe=red linie=1,solid parameter="showpoints=true" 4 1,130 5 2,100 6 3,80 7 4,70 8 5,55 9 6,45 10 7,40 11 8,30 12 9,25 13 10,20 14 15,7 15 20,3 16 ende 17 18

Abb. 98: Der Befehl fileplot

fileplot-ptxt.ptxt
1 groesse x=6 y=3 2 achsen 3 fileplot farbe=red linie=1,solid parameter="" 4 lese Abbildungen/kondensator-entladung.dat 5 ende 6 7

Abb. 99: Der Befehl dataplot

dataplot-ptxt.ptxt
1 groesse x=6 y=3 2 achsen 3 dataplot farbe=red linie=1,solid parameter="" 4 lese Abbildungen/kondensator-entladung.dat 5 ende 6 7

Mithilfe des Befehls barplot kann man die Daten auch als Säulendiagramm darstellen. Dabei ist standardmäßig eine Breite von 1 eingestellt.
barplot
[layer=<