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Bewegung eines Satelliten

Öffnen Sie zunächst die nachfolgende Excel-Datei:

Zunächst einmal, zur Erklärung des Verfahrens:

Die Gravitationskraft $ F = \gamma \frac{mM}{r^2}$ ist eine Zentralkraft, für die gilt $ \frac{F_x}{F}= - \frac{x}{r}$, also $ F_x = -\gamma mM \frac{x}{r^3}$ und genauso $ F_y = -\gamma mM \frac{y}{r^3}$.

Um nun die Geschwindigkeit und die Positionen des Satellitens auf der Umlaufbahn zu bestimmen nutzt man das folgende Iterationsverfahren:

  1. $ a_x(t) = - \gamma M \frac{x(t)}{r^3(t)}$ und $ a_y(t) = - \gamma M\frac{y(t)}{r^3(t)}$, wobei $ r(t) = \sqrt{x^2(t)+y^2(t)}$.
  2. $ v_x(t + \Delta t)=v_x(t) + a_x(t) \* \Delta t$, $ v_y(t + \Delta t)=v_y(t) + a_y(t \* \Delta t$)
  3. $ x(t + \Delta t) = x(t) + v_x(t)\* \Delta t$, $ y(t + \Delta t) = y(t) + v_y(t)\* \Delta t$

Beispiel

Wir starten mit den Werten und der Masse der Erde .

Die weiteren Werte sind , sowie , $y(0) = \unit[0]{km}$ und $v_x(0) =\unitfrac[0]{km}{s}$, $v_y(0) = \unitfrac[8]{km}{s}$

Dann berechnen sich die Iterationsschritte wie folgt:

erster Iterationsschritt:
$r(0) = 8000 $ und

$a_x(0) = - \gamma M \frac{x(0)}{r^3(0)} = -6,227\*10^{-3}$, $a_y(0) = - \gamma M \frac{y(0)}{r^3(0)} =0$.

$v_x(0)$ und $v_y(0)$ sind die Startwerte selbst.

zweiter Iterationsschritt:
$x(50) = x(0) + v_x(0) \* \Delta t = 8000$ und $y(50) = y(0) + v_y(0) \* \Delta t = 4000$.

Damit kann $r(50)$ berechnet werden zu $r(50) = 8,010\*10^{3}$ und damit $a_x(50) = - \gamma M \frac{x(50)}{r^3(50)} = -6,204\*10^{-3}$, $a_y(50) = - \gamma M \frac{y(50)}{r^3(50)} =-3,102\*10^{-4} $.

Hieraus lassen sich die Geschwindigkeiten bestimmen zu $v_x(50) = v_x(0)+a_x(50)\*\Delta t = -3,102\* 10^{-1}$. Ebenso berechnet sich $v_y(50)$.

Aufgabe 1

Geben Sie folgende Startwerte ein:

$ x(0)$ in km $ y(0)$ in km $ v_x(0)$ in km/s $ v_y(0)$ in km/s $ \Delta t$ in s
8000 0 0 8 50
  1. Bestimmen Sie aus der Grafik näherungsweise die Geschwindigkeit im erdfernsten Punkt und vergleichen Sie diese mit der Geschwindigkeit im erdnächsten Punkt.
  2. Bestimmen Sie die große Halbachse der Ellipsenbahn. Tipp: Bestimmen Sie den Abstand des erdfernsten und erdnächsten Punktes und berechnen daraus die große Halbachse.
  3. Überprüfen Sie das 3. Keplersche Gesetz. Wählen Sie hierzu den Erdmond als Vergleichskörper. (Die Bahn des Erdmondes hat eine große Halbachse von ca. 3,82.105 km; seine Umlaufzeit beträgt 27,3 Tage.)

Aufgabe 2

  1. Der Startort befinde sich nun unmittelbar über der Erdoberfläche, die Geschwindigkeit sei tangential zur Erdoberfläche orientiert. Wählen Sie also z.B. für die Startwerte:
    $ x(0)$ in km $ y(0)$ in km $ v_x(0)$ in km/s $ \Delta t$ in s
    6375 0 0 15
    Der Betrag der Startgeschwindigkeit ist also $ v_y(0)$. Variieren Sie diesen Wert solange bis der Satellit gerade nach eine Kreisbahn um die Erde beschreibt.

    Diese Geschwindigkeit wird 1. kosmische Geschwindigkeit genannt. Vergleichen Sie diese mit dem Wert aus dem Buch.

  2. Der Satellit befinde sich nun 3632 km über der Erdoberfläche. Berechnen Sie die Geschwindigkeit, die erforderlich ist, dass er die Erde auf einer Kreisbahn umrundet. Überprüfen Sie diese Ergebnis mit der EXCEL-Anwendung. Wählen Sie z.B. folgende Startwerte:
    $ x(0)$ in km $ y(0)$ in km $ v_x(0)$ in km/s $ \Delta t$ in s
    10000 0 0 30
    Variieren Sie $ v_y(0)$ so lange, bis sich eine Kreisbahn ergibt, und vergleichen Sie die Geschwindigkeit mir dem Ergebnis von 1.

Letzte Änderung: 26.04.2012: 19:23:52 von X. Rendtel

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